大多數人最為熟悉的數有兩種，即正數（＋５，＋１７．５）和負數（－５，－１７．５）。負數是在中世紀出現的，它用來處理３－５這類問題。從古代人看來，要從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是，中世紀的商人卻已經清楚地認識到欠款的概念。「請你給我五個蘋果，可是我只有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢。」這就等於說：（＋３）－（＋５）＝（－２）。
　　正數及負數可以根據某些嚴格的規則彼此相乘。正數乘正數，其乘積為正。正數乘負數，其乘積為負。最重要的是，負數乘負數，其乘積為正。
　　因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。
　　現在假定我們自問：什麼數自乘將會得出＋１？或者用數學語言來說，＋１的平方根是多少？
　　這一問題有兩個答案。一個答案是＋１，因為（＋１）×（＋１）＝（＋１）；另一個答案則是－１，因為（－１）×（－１）＝（＋１）。數學家是用√￣（＋１）＝±１來表示這一答案的。（碧聲註：（＋１）在根號下）
　　現在讓我們進一步提出這樣一個問題：－１的平方根是多少？
　　對於這個問題，我們感到有點為難。答案不是＋１，因為＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因為－１的自乘同樣是＋１。當然，（＋１）×（－１）＝（－１），但這是兩個不同的數的相乘，而不是一個數的自乘。
　　這樣，我們可以創造出一個數，並給它一個專門的符號，譬如說＃１，而且給它以如下的定義：＃１是自乘時會得出－１的數，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。當這種想法剛提出來時，數學家都把這種數稱為「虛數」，這只是因為這種數在他們所習慣的數系中並不存在。實際上，這種數一點也不比普通的「實數」更為虛幻。這種所謂「虛數」具有一些嚴格限定的屬性，而且和一般實數一樣，也很容易處理。
　　但是，正因為數學家感到這種數多少有點虛幻，所以給這種數一個專門的符號「ｉ」(imaginary)。我們可以把正虛數寫為（＋ｉ），把負虛數寫為（－ｉ），而把＋１看作是一個正實數，把（－１）看作是一個負實數。因此我們可以說√￣（－１）＝±ｉ。
　　實數系統可以完全和虛數系統對應。正如有＋５，－１７．３２，＋３／１０等實數一樣，我們也可以有＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虛數。
　　我們甚至還可以在作圖時把虛數系統畫出來。
　　假如你用一條以０點作為中點的直線來表示一個正實數系統，那麼，位於０點某一側的是正實數，位於０點另一側的就是負實數。
　　這樣，當你通過０點再作一條與該直線直角相交的直線時，你便可以沿第二條直線把虛數系統表示出來。第二條直線上０點的一側的數是正虛數，０點另一側的數是負虛數。這樣一來，同時使用這兩種數系，就可以在這個平面上把所有的數都表示出來。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或（＋３）＋（－２ｉ）。這些數就是「複數」。
　　數學家和物理學家發現，把一個平面上的所有各點同數字系統彼此聯繫起來是非常有用的。如果沒有所謂虛數，他們就無法做到這一點了。